Função do 2º Grau (Função Quadrática): Resumo Completo
O elo entre a álgebra e a geometria: entenda a lei de formação e o comportamento da parábola
A Função Quadrática (ou do 2º Grau) é uma lei de formação matemática expressa por f(x) = ax² + bx + c, onde 'x' é a variável independente e 'f(x)' (ou y) é a variável dependente. Seu gráfico é sempre uma curva chamada Parábola.
Notação:
f(x) = ax² + bx + c
ou
y = ax² + bx + c
onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0
Por que estudar Função Quadrática?
💡 Situação Problema:
Imagine um chute de um goleiro. A bola sobe, atinge a altura máxima e desce. Esse movimento é uma Função do 2º Grau.
- O tempo é o X (variável independente)
- A altura é o Y ou f(x) (variável dependente)
- O topo da trajetória é o Vértice (ponto máximo)
Isso faz você entender por que está estudando isso: para modelar comportamentos reais!
Qual a diferença entre Função e Equação?
Esta é a diferença crucial que posiciona esta página de forma única. No contexto escolar (ENEM e Ensino Médio), a "Função" é cobrada de forma diferente da "Equação".
✏️ Equação do Segundo Grau
ax² + bx + c = 0
Pergunta: Quais são os valores de x?
Objetivo: Quer achar valores específicos (Ex: quando isso dá zero?).
Resultado: Um número (Raiz).
📊 Função do Segundo Grau
f(x) = ax² + bx + c
Pergunta: Qual é o comportamento? Onde é o máximo? Onde a curva sobe?
Objetivo: Quer mapear todos os resultados possíveis para cada valor de x.
Resultado: Um gráfico (Parábola).
Em resumo: A equação é um caso particular da função (quando f(x) = 0). Resolver a equação significa encontrar onde a função intercepta o eixo x. Para entender melhor equações, veja O que é uma Equação do Segundo Grau.
Como os coeficientes moldam a curva
O Coeficiente 'a' (Concavidade)
Se a > 0:
"Sorriso" (Concavidade para Cima)
A parábola tem um ponto de mínimo
Se a < 0:
"Triste" (Concavidade para Baixo)
A parábola tem um ponto de máximo
O Coeficiente 'c' (Corte no Y)
Dica Ninja: A parábola sempre corta o eixo vertical (y) no valor de c.
Exemplo: Em f(x) = x² - 5x + 6, a curva passa no y = 6.
Isso acontece porque quando x = 0, temos f(0) = c.
O Ponto de Retorno (Vértice)
Este é o tópico mais cobrado em provas sobre Função. Toda parábola tem um ponto onde ela faz a curva:
Se a > 0:
É o Ponto Mínimo (fundo do vale). A função atinge seu menor valor neste ponto.
Se a < 0:
É o Ponto Máximo (topo da montanha). A função atinge seu maior valor neste ponto.
As Fórmulas do Vértice:
Coordenada x:
Coordenada y:
💡 Dica Prática:
O valor de Yv também pode ser calculado como f(Xv), ou seja, substituindo Xv na função original.
Para ver aplicações de Máximo e Mínimo (como lucro máximo), veja nossa página de Gráficos e Aplicações.
Zeros da Função
"Zero da Função" é apenas um nome chique para Raiz. É quando f(x) = 0.
💡 Conexão:
Os zeros da função são exatamente as raízes da equação associada. Quando você resolve a equação ax² + bx + c = 0, está encontrando os pontos onde a função cruza o eixo x.
Para saber como calcular os zeros, use a Fórmula de Bhaskara. Para entender melhor o conceito de raízes, veja Raízes de uma Equação do Segundo Grau.
Domínio e Imagem
Para capturar tráfego de Ensino Médio mais avançado, é importante entender domínio e imagem:
arrow_right_altDomínio
Em funções do 2º grau reais, o domínio é sempre:
D = ℝ
(qualquer número real)
heightImagem
Depende do Y do Vértice (Yv). A curva vai do vértice para cima (ou para baixo):
Se a > 0: Im = {y ∈ ℝ | y ≥ Yv}
Se a < 0: Im = {y ∈ ℝ | y ≤ Yv}