Soma e Produto: Como resolver Equação do 2º Grau de Cabeça
O atalho ninja para resolver equações rapidamente sem fórmulas longas
Cansado de calcular Delta gigantes? O método da Soma e Produto (Relações de Girard) permite encontrar as raízes olhando para a equação, sem fórmulas longas.
⚠️ Aviso importante: Este método funciona perfeitamente quando a = 1 e as raízes são números inteiros. Para números "quebrados" (frações ou decimais), a Fórmula de Bhaskara é mais garantida.
As Fórmulas Mágicas
Para a equação ax² + bx + c = 0 com raízes x' e x'':
Soma das Raízes
S = x' + x''
Produto das Raízes
P = x' · x''
⚠️ ATENÇÃO: O b troca de sinal! É aqui que 90% dos alunos erram. A fórmula é -b/a, não b/a.
O Truque do a = 1
A maioria dos exercícios escolares tem a = 1. Quando isso acontece, a conta fica ridícula de fácil:
- •A Soma é o valor de -b (o b com sinal trocado).
- •O Produto é o valor de c (o próprio c).
🧠 O Desafio Mental:
Pense em dois números que multiplicados dão C e somados dão -B.
Comece sempre pelo Produto!
Não diga apenas "pense". Ensine como pensar.
Por quê começar pelo Produto?
Existem infinitos números que somados dão 5. Mas existem poucos inteiros que multiplicados dão 6. Por isso, sempre comece listando os pares de números que multiplicam para o Produto.
Tabela de Jogo de Sinais (Essencial)
Use esta tabela para "chutar" os sinais certos:
| Se o Produto (c) for... | E a Soma (-b) for... | As raízes são... |
|---|---|---|
| Positivo (+) | Positiva (+) | Duas Positivas (+, +) |
| Positivo (+) | Negativa (-) | Duas Negativas (-, -) |
| Negativo (-) | Qualquer | Sinais Opostos (+, -) |
Exemplo 1: Caso Clássico
x² - 5x + 6 = 0
Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = -5, c = 6
Passo 2: Calcular Soma e Produto (a = 1, então é fácil!)
Soma (S): Como a = 1, S = -b = -(-5) = 5
Produto (P): Como a = 1, P = c = 6
Passo 3: Começar pelo Produto (estratégia vencedora!)
Quais números multiplicados dão 6?
- 1 × 6 = 6
- 2 × 3 = 6
- (-1) × (-6) = 6
- (-2) × (-3) = 6
Passo 4: Verificar qual par soma 5
Testando os pares:
- 1 + 6 = 7 ❌
- 2 + 3 = 5 ✓
- (-1) + (-6) = -7 ❌
- (-2) + (-3) = -5 ❌
✓ Solução: x' = 2 e x'' = 3
Exemplo 2: Sinais Opostos
x² - 3x - 10 = 0
Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = -3, c = -10
Passo 2: Calcular Soma e Produto
Soma (S): S = -b = -(-3) = 3
Produto (P): P = c = -10
⚠️ Produto negativo = sinais opostos (consulte a tabela acima!)
Passo 3: Começar pelo Produto
Quais números multiplicados dão -10? (Lembre-se: sinais opostos!)
- 1 × (-10) = -10
- 2 × (-5) = -10
- 5 × (-2) = -10
- 10 × (-1) = -10
Passo 4: Verificar qual par soma 3
Testando os pares:
- 1 + (-10) = -9 ❌
- 2 + (-5) = -3 ❌
- 5 + (-2) = 3 ✓
- 10 + (-1) = 9 ❌
✓ Solução: x' = 5 e x'' = -2
Quando NÃO usar? (Honestidade gera Autoridade)
Se você ficar 2 minutos tentando adivinhar e não conseguir, é porque as raízes são fracionárias ou irracionais.
Conselho: Travou por mais de 1 minuto? Vá para a Fórmula de Bhaskara que é garantido.
E se o 'a' for diferente de 1?
O método ainda funciona, mas é preciso dividir pelo a. A soma será -b/a e o produto será c/a.
Para casos mais complexos com a ≠ 1, veja nosso artigo de Dicas Avançadas.
Perguntas Frequentes
Soma e produto serve para qualquer equação?
Sim, as relações de Soma e Produto funcionam para qualquer equação do segundo grau. No entanto, o método é mais prático quando a = 1 e as raízes são números inteiros. Se as raízes forem fracionárias ou irracionais, pode ser difícil calcular mentalmente e a fórmula de Bhaskara é mais garantida.
O sinal da soma é sempre trocado?
Sim, o sinal da soma é sempre trocado. A fórmula da soma das raízes é S = -b/a, então o coeficiente b sempre troca de sinal. Por exemplo, se b = -5, a soma será S = -(-5)/1 = 5. É importante prestar atenção nesse detalhe para não errar.