Exemplos Resolvidos de Equação do 2º Grau (Passo a Passo)
Confira exemplos práticos de equações do 2º grau resolvidas. Casos de equações completas e incompletas comentados passo a passo.
1. Equações Incompletas
Foco: Resolução rápida sem Bhaskara. Aprenda os atalhos para equações que faltam o termo b ou c.
Equação sem termo b
Falta o coeficiente b (b = 0)
x² - 25 = 0
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Passo 1: Identificar
a = 1, b = 0, c = -25
Veja como isolamos o x² passando a raiz. Não precisamos usar Bhaskara aqui!
Passo 2: Isolar x²
x² = 25
Passo 3: Extrair a raiz quadrada
x₁ = 5 e x₂ = -5
💡 Dica: Não entendeu esse passo? Veja a teoria completa de Equações Incompletas sem termo b.
Equação sem termo c
Falta o termo independente (c = 0)
3x² - 9x = 0
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Passo 1: Identificar
a = 3, b = -9, c = 0
Veja como usamos a fatoração. Colocamos x em evidência!
Passo 2: Colocar x em evidência
3x(x - 3) = 0
Passo 3: Produto zero
Quando o produto é zero, um dos fatores é zero:
3x = 0 → x = 0
ou
x - 3 = 0 → x = 3
x₁ = 0 e x₂ = 3
💡 Dica: Quer entender melhor a fatoração? Veja Equações Incompletas sem termo c.
2. Equações Completas
Foco: Aplicação da Fórmula de Bhaskara. Veja os três casos possíveis: Delta positivo, zero e negativo.
Duas raízes reais distintas
Quando Δ > 0
x² - 5x + 6 = 0
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Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = -5, c = 6
Passo 2: Calcular o discriminante (Δ)
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(1)(6)
Δ = 25 - 24 = 1
Como Δ > 0, teremos duas raízes reais distintas.
Passo 3: Aplicar Fórmula de Bhaskara
Solução: x₁ = 3 e x₂ = 2
💡 Dica: Você pode conferir este gráfico na nossa Calculadora Interativa ou ver o Gráfico da Função.
Raiz dupla (Δ = 0)
Quando Δ = 0, temos duas raízes iguais
x² - 4x + 4 = 0
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Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = -4, c = 4
Passo 2: Calcular Δ
Δ = (-4)² - 4(1)(4)
Δ = 16 - 16 = 0
Como Δ = 0, teremos uma raiz dupla (duas raízes iguais).
Passo 3: Calcular a raiz
Quando Δ = 0, usamos a fórmula simplificada:
Solução: x₁ = x₂ = 2 (raiz dupla)
💡 Dica: Quer entender melhor quando Δ = 0? Veja Estudo do Delta (Discriminante).
Sem raízes reais
Quando Δ < 0 (Delta negativo)
x² + x + 1 = 0
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Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = 1, c = 1
Passo 2: Calcular Δ
Δ = (1)² - 4(1)(1)
Δ = 1 - 4 = -3
Como Δ < 0, não existem raízes reais.
Passo 3: Conclusão
Como Δ = -3 < 0, a equação não possui raízes reais.
O conjunto solução é: S = ∅ (conjunto vazio)
A parábola não cruza o eixo X. Ela fica toda acima ou toda abaixo do eixo.
💡 Dica: Por que paramos a conta? Entenda em Estudo do Delta.
3. Aplicação de Macetes
Foco: Aprenda a aplicar os atalhos e macetes para resolver equações mais rapidamente. Soma e Produto, a+b+c=0 e outros truques.
Usando Soma e Produto
Macete rápido quando a = 1
x² - 7x + 12 = 0
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Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1, b = -7, c = 12
Como a = 1, podemos usar Soma e Produto! É muito mais rápido que Bhaskara.
Passo 2: Aplicar Soma e Produto
Procuramos dois números que:
Soma
Produto
Quais números somados dão 7 e multiplicados dão 12? 3 e 4!
Solução:
x₁ = 3 e x₂ = 4
Verificação: 3 + 4 = 7 ✓ e 3 × 4 = 12 ✓
💡 Dica: Quer aprender mais sobre este macete? Veja Soma e Produto: Dicas e Macetes.
Macete a + b + c = 0
Atalho super rápido quando a soma dos coeficientes é zero
2x² - 5x + 3 = 0
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Passo 1: Verificar se a + b + c = 0
a = 2, b = -5, c = 3
a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 ✓
Quando isso acontece, uma raiz é sempre x = 1!
Passo 2: Encontrar a primeira raiz
x₁ = 1
Esta é sempre a primeira raiz quando a + b + c = 0.
Passo 3: Encontrar a segunda raiz
Usando Soma e Produto:
x₂ = 1,5
Solução:
x₁ = 1 e x₂ = 1,5
Verificação: 2(1)² - 5(1) + 3 = 0 ✓
💡 Dica: Quer aprender mais sobre este atalho? Veja Quando a + b + c = 0.
Problema comentado
Aprenda a montar a equação a partir de um problema
Problema: Um número multiplicado por seu dobro resulta em 50. Qual é esse número?
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Passo 1: Definir a variável
Seja x = o número procurado
Então 2x = o dobro desse número
Passo 2: Montar a equação
"Um número multiplicado por seu dobro resulta em 50"
x · 2x = 50
2x² = 50
2x² - 50 = 0
Simplificando (dividindo por 2): x² - 25 = 0
Passo 3: Resolver a equação
Esta é uma equação incompleta (b = 0):
x² = 25
x = ±√25
x = ±5
Como x representa um número, temos duas possibilidades: x = 5 ou x = -5
Resposta:
O número pode ser 5 ou -5.
Verificação: 5 × 10 = 50 ✓ e (-5) × (-10) = 50 ✓
💡 Dica: Quer entender melhor como montar equações? Veja O que é Equação do 2º Grau.
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